真子集個數公式

在數學中，集合是由一些不同的元素組成的對象。在集合中，真子集是指一個集合的所有非空子集，但不包括該集合本身。在本文中，我們將探討如何計算一個集合的真子集個數。

考慮一個集合S，它有n個元素。我們可以使用二進制來表示S的每個子集，其中每個元素有兩個可能的狀態：存在（1）或不存在（0）。如此一來，S的每個子集都可以用一個長度為n的01序列表示，其中1表示該元素在子集中，0表示該元素不在子集中。

例如，如果S = ，則它的所有子集可以用以下二進制序列表示：

000 (空集)

001 (只包括c)

010 (只包括b)

011 (包括b和c)

100 (只包括a)

101 (包括a和c)

110 (包括a和b)

111 (包括a、b和c)

可以看出，S的每個子集都可以用一個長度為n的01序列表示。因此，S的所有子集的個數是2^n，這包括了空集和S本身。因此，S的真子集個數是2^n-2。

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這個公式可以通過數學歸納法來證明。當n=1時，S只包含一個元素，它的真子集為，因此真子集個數為0，2^n-2也等于0。當n=2時，S有兩個元素，它的真子集為、和，因此真子集個數為3，2^n-2也等于3。對于n>2的情況，假設公式對于n-1成立。那么當S中加入一個新元素時，它的所有子集可以分成兩組：包含新元素的子集和不包含新元素的子集。前者的個數為2^(n-1)，后者的個數為2^(n-1)-1（因為它不包括空集），因此S的所有子集的個數為2^(n-1)+(2^(n-1)-1)=2^n-1。因此，S的真子集個數為2^n-2。

總之，一個集合的真子集個數可以用2^n-2來計算，其中n是集合的元素個數。這個公式可以通過數學歸納法來證明。