考研復合函數求偏導

復合函數是高等數學中的一個重要概念，它在許多領域中都有廣泛應用。在考研數學中，復合函數求偏導是一個常見的考點，掌握這個知識點對考生來說非常重要。

首先，我們來看一下什么是復合函數。復合函數是由兩個或多個函數相互嵌套所構成的函數，其中一個函數的輸出值作為另一個函數的輸入值。比如，設有兩個函數$f(x)$和$g(x)$，它們的復合函數為$h(x)=f(g(x))$。在這個例子中，$g(x)$的輸出值作為$f(x)$的輸入值，最終得到$h(x)$的值。

接下來，我們來看一下如何求復合函數的偏導數。偏導數是指在多元函數中，對其中一個自變量求導數時，其他自變量都視為常數的導數。對于復合函數來說，求偏導數的方法有兩種：鏈式法則和直接求導法。

鏈式法則是指，對于復合函數$h(x)=f(g(x))$，它的導數可以通過$f'(g(x))$和$g'(x)$的乘積來計算，即$h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$。這個公式可以幫助我們快速計算復合函數的導數。

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另一種方法是直接求導法，即對復合函數進行展開，然后逐個求導。這個方法需要一定的代數技巧，但是在一些情況下可以更加方便。

舉一個例子來說明一下。設有函數$f(x)=\sin(x)$和$g(x)=x^2$，它們的復合函數為$h(x)=f(g(x))=\sin(x^2)$。我們來求$h(x)$的導數。

使用鏈式法則，我們可以得到$h'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x$。

使用直接求導法，我們可以將$h(x)$展開為$h(x)=\sin(u)$，其中$u=x^2$。然后，我們可以使用鏈式法則求出$u$關于$x$的導數$u'=2x$，再將$u'$代入到$h(x)$的導數公式中，得到$h'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x$，和鏈式法則的結果一致。

綜上所述，復合函數求偏導是考研數學中的一個重要知識點，它需要掌握鏈式法則和直接求導法兩種方法。只有通過大量的練習和理解，才能在考試中熟練地運用這個知識點，取得好成績。