多元復合函數的求導法則證明

多元復合函數是微積分中一個非常重要的概念，它描述了一種函數由多個函數復合而成的情況。在實際應用中，我們常常需要對多元復合函數求導，因此求導法則的證明就顯得尤為重要。本文將介紹多元復合函數的求導法則，并對其證明進行詳細講解。

一、多元復合函數的定義

多元復合函數是指由多個函數復合而成的函數。具體來說，如果$f(x)$和$g(x)$是兩個函數，那么它們的復合函數就是$f(g(x))$。如果再加上一個函數$h(x)$，那么就可以得到一個三元復合函數，即$f(g(h(x)))$。以此類推，如果有$n$個函數$f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$，那么它們的$n$元復合函數就是$f_1(f_2(\cdots f_n(x) \cdots ))$。

二、多元復合函數的求導法則

對于多元復合函數，我們需要使用鏈式法則來求導。鏈式法則是指，如果一個函數$y=f(u)$依賴于另一個函數$u=g(x)$，那么它們的導數之間存在以下的關系：

$$\frac=\frac\cdot\frac$$

對于多元復合函數，我們可以將其視為多個函數復合而成，然后依次使用鏈式法則求導。具體來說，如果$y=f(u_1,u_2,\cdots,u_n)$是一個$n$元復合函數，其中每個$u_i$都是一個$m_i$元函數，那么它的導數可以表示為：

$$\frac=\sum_^\frac\cdot\frac$$

其中，$\frac$表示$y$對$u_j$的偏導數，$\frac$表示$u_j$對$x_i$的偏導數。

三、多元復合函數的求導法則證明

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現在我們來證明多元復合函數的求導法則。假設$y=f(u_1,u_2,\cdots,u_n)$是一個$n$元復合函數，其中每個$u_i$都是一個$m_i$元函數。我們要求$\frac$，即$y$對$x_i$的偏導數。

首先，根據鏈式法則，我們可以得到：

$$\frac=\frac\cdot\frac+\frac\cdot\frac+\cdots+\frac\cdot\frac$$

接下來，我們考慮$\frac$的求法。由于$u_j$是一個$m_j$元函數，我們可以將其表示為$u_j=u_j(x_1,x_2,\cdots,x_m)$。因此，$y$可以表示為：

$$y=f(u_1(x_1,x_2,\cdots,x_m),u_2(x_1,x_2,\cdots,x_m),\cdots,u_n(x_1,x_2,\cdots,x_m))$$

根據偏導數的定義，我們可以得到：

$$\frac=\sum_^\frac\cdot\frac$$

其中，$\frac$表示$y$對$x_k$的偏導數，$\frac$表示$x_k$對$u_j$的偏導數。

現在我們來求$\frac$。由于$u_j$是一個$m_j$元函數，因此它的偏導數可以表示為：

$$\frac=\lim_\frac$$

由于其他自變量$x_i(i\ne k)$不變，因此我們可以將$u_j(x_1,x_2,\cdots,x_k,\cdots,x_m)$表示為$u_j(x_1,x_2,\cdots,x_k,\cdots,x_,u_j,x_,\cdots,x_m)$。因此，$\frac$可以表示為：

$$\frac=\frac{\frac}=\frac{\lim_\frac}$$

接下來，我們將$\frac$帶入原式中，得到：

$$\frac=\sum_^\sum_^\frac\cdot\frac\cdot\frac$$

由于$x_k$是一個自變量，因此$\frac$只有在$k=i$時才不為零。因此，我們可以將上式簡化為：

$$\frac=\sum_^\frac\cdot\frac$$

這就是多元復合函數的求導法則。