共軛復數的運算公式

共軛復數是指具有相同實部但虛部符號相反的兩個復數。例如，$z=a+bi$的共軛復數為$\bar=a-bi$。在數學運算中，共軛復數有一些特殊的性質和運算公式。本文將介紹共軛復數的運算公式及其應用。

首先，我們來看共軛復數的加法運算。設$z_1=a+bi$，$z_2=c+di$，則它們的和為：

$$

z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i

$$

它的共軛復數為：

$$

\overline=(a+c)-(b+d)i

$$

我們可以發現，$\overline=\bar+\bar$。即，兩個共軛復數的和的共軛復數等于它們分別的共軛復數的和。

接下來，我們來看共軛復數的乘法運算。設$z_1=a+bi$，$z_2=c+di$，則它們的積為：

$$

z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i

$$

它的共軛復數為：

$$

\overline=(ac-bd)-(ad+bc)i

$$

我們可以發現，$\overline=\bar\bar$。即，兩個共軛復數的積的共軛復數等于它們分別的共軛復數的積。這個性質有一個重要的應用，就是求復數的模長的平方。設$z=a+bi$，則：

$$

|z|^2=z\bar=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

$$

這個公式可以用來求復數的模長的平方，也可以用來證明兩個復數的和的模長平方等于它們的模長的平方之和。

最后，我們來看共軛復數的除法運算。設$z_1=a+bi$，$z_2=c+di$，則它們的商為：

$$

\frac=\frac+\fraci

$$

它的共軛復數為：

http://www.fjhawl.com/common/images/9zYfVb0KNQ_1.jpg

$$

\overline{\frac}=\frac-\fraci

$$

我們可以發現，$\overline{\frac}=\frac{\bar}{\bar}$。即，一個共軛復數除以另一個共軛復數的共軛復數等于這兩個復數分別的共軛復數的商。

綜上所述，共軛復數的運算公式有：$\overline=\bar+\bar$，$\overline=\bar\bar$，$\overline{\frac}=\frac{\bar}{\bar}$。這些公式在復數的運算中有著重要的應用，可以簡化計算，提高效率。