多元復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)法則

多元復(fù)合函數(shù)是指由多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，其中每個(gè)函數(shù)都可以是一個(gè)多元函數(shù)。在求解多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們需要應(yīng)用一些基本的法則，包括鏈?zhǔn)椒▌t和乘法法則等。下面，我們將詳細(xì)介紹這些法則，并且給出一些具體的例子來幫助讀者更好地理解。

首先，我們來看一下鏈?zhǔn)椒▌t。鏈?zhǔn)椒▌t是指在求解一個(gè)多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要將其分解為若干個(gè)單元函數(shù)，然后對每個(gè)單元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，再將它們乘起來。具體來說，假設(shè)我們要求解一個(gè)由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，即 $f(g(x))$，其中 $g(x)$ 是一個(gè)多元函數(shù)，$f(x)$ 是一個(gè)一元函數(shù)。那么，對于 $f(g(x))$ 的偏導(dǎo)數(shù)，我們需要先計(jì)算出 $g(x)$ 的偏導(dǎo)數(shù) $g'(x)$，再將其代入到 $f(x)$ 的偏導(dǎo)數(shù)中，得到 $f'(g(x))g'(x)$。這個(gè)結(jié)果就是 $f(g(x))$ 的偏導(dǎo)數(shù)。

例如，假設(shè)我們要求解函數(shù) $h(x,y) = f(g(x,y))$ 的偏導(dǎo)數(shù)，其中 $g(x,y)$ 和 $f(x)$ 分別是一個(gè)二元函數(shù)和一個(gè)一元函數(shù)。那么，我們需要首先計(jì)算出 $g(x,y)$ 對 $x$ 和 $y$ 的偏導(dǎo)數(shù)，即 $g_x(x,y)$ 和 $g_y(x,y)$。然后，將它們代入到 $f(x)$ 的偏導(dǎo)數(shù)中，得到：

$$

\frac = \frac\frac = f'(g(x,y))g_x(x,y)

$$

http://www.fjhawl.com/common/images/0YSiPTxTDa_3.jpg

$$

\frac = \frac\frac = f'(g(x,y))g_y(x,y)

$$

其中，$f'(g(x,y))$ 表示 $f(x)$ 在 $g(x,y)$ 處的導(dǎo)數(shù)。

除了鏈?zhǔn)椒▌t，我們還需要掌握乘法法則。乘法法則是指在求解一個(gè)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要將其分解為若干個(gè)單元函數(shù)，然后對每個(gè)單元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，再將它們相乘。具體來說，假設(shè)我們要求解一個(gè)由兩個(gè)函數(shù)乘積而成的函數(shù)，即 $f(x,y) = g(x,y)h(x,y)$，其中 $g(x,y)$ 和 $h(x,y)$ 都是二元函數(shù)。那么，對于 $f(x,y)$ 的偏導(dǎo)數(shù)，我們可以分別對 $g(x,y)$ 和 $h(x,y)$ 求偏導(dǎo)數(shù)，然后將它們相乘。也就是說，有：

$$

\frac = g_x(x,y)h(x,y) + g(x,y)h_x(x,y)

$$

$$

\frac = g_y(x,y)h(x,y) + g(x,y)h_y(x,y)

$$

其中，$g_x(x,y)$，$g_y(x,y)$，$h_x(x,y)$ 和 $h_y(x,y)$ 分別表示 $g(x,y)$ 和 $h(x,y)$ 對 $x$ 和 $y$ 的偏導(dǎo)數(shù)。

綜上所述，求解多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)需要應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t和乘法法則等基本法則。這些法則雖然看起來比較復(fù)雜，但只要掌握了基本原理，就可以靈活應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以通過練習(xí)大量的例題來加深對這些法則的理解，從而更好地應(yīng)用它們解決實(shí)際問題。