求和符號(hào)求導(dǎo)公式

求和符號(hào)是數(shù)學(xué)中常見的符號(hào)，它表示將一組數(shù)相加的結(jié)果。在微積分中，求和符號(hào)也經(jīng)常出現(xiàn)，特別是在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)。本文將介紹求和符號(hào)求導(dǎo)公式。

假設(shè)有一個(gè)函數(shù)$f(x) = \sum_^g_i(x)$，其中$g_i(x)$是$x$的函數(shù)，而$n$是正整數(shù)。要求函數(shù)$f(x)$對(duì)$x$的導(dǎo)數(shù)，我們可以利用求導(dǎo)的基本公式：

$$\fracf(x) = \lim_\frac$$

根據(jù)求和符號(hào)的定義，我們可以將$f(x)$展開為：

$$f(x) = g_1(x) + g_2(x) + \cdots + g_n(x)$$

那么$f(x+\Delta x)$為：

$$f(x+\Delta x) = g_1(x+\Delta x) + g_2(x+\Delta x) + \cdots + g_n(x+\Delta x)$$

將$f(x)$和$f(x+\Delta x)$代入求導(dǎo)公式中，有：

$$\begin \fracf(x) &= \lim_\frac \\ &= \lim_\frac \\ &= \lim_\frac + \lim_\frac + \cdots + \lim_\frac \\ &= \sum_^\lim_\frac \\ &= \sum_^\fracg_i(x) \end$$

根據(jù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，$g_i(x)$的導(dǎo)數(shù)為$g_i'(x)$，因此：

$$\fracf(x) = \sum_^g_i'(x)$$

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這就是求和符號(hào)求導(dǎo)公式。

需要注意的是，求和符號(hào)求導(dǎo)公式只適用于有限項(xiàng)求和。如果求和項(xiàng)的數(shù)量是無限的，我們需要使用級(jí)數(shù)求導(dǎo)的方法。